ÖNERME
Önerme: Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r, s, t… gibi harflerle ifade edilir.
KRTK NOKTA: Soru, emir ve ünlem cümleleri önerme değildir.
KRTK NOKTA: Soru, emir ve ünlem cümleleri önerme değildir.
| Örnek: | Buraya gel. (emir) |
| Nasılsın? (soru) | |
| Eyvah! (ünlem) |
Cümleleri önerme değildir.
a) Önermeleri doğruluk değerleri: Bir önerme doğru ise doğruluk değeri 1 (bir), yanlış ise 0 (sıfır)’dır. Doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir.
NOT: n tane önermenin tane doğruluk değeri vardır.
a) Önermeleri doğruluk değerleri: Bir önerme doğru ise doğruluk değeri 1 (bir), yanlış ise 0 (sıfır)’dır. Doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir.
NOT: n tane önermenin tane doğruluk değeri vardır.
b) Denk Önermeler: Doğruluk değeri aynı olan iki önermeye denk(eş değer) önermeler denir.
p ve q denk önermeler ise p≡q biçiminde gösterilir.
Örnek: p: Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.
q: 2+4=6
Bu iki önerme de doğrudur. Bu yüzden p≡q yani bu iki önerme birbirine denktir.
c) Bir önermenin değili (olumsuzu): Bir önermenin hükmünün değiştirilmesi ile oluşan önermeye o önermenin olumsuzu(değili) denir. Bir p önermesinin değili p’ , , sembollerinden biri ile gösterilir.
NOT: Bir önermenin değilinin değili yine kendisine eşittir. ≡ p
p ve q denk önermeler ise p≡q biçiminde gösterilir.
Örnek: p: Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.
q: 2+4=6
Bu iki önerme de doğrudur. Bu yüzden p≡q yani bu iki önerme birbirine denktir.
c) Bir önermenin değili (olumsuzu): Bir önermenin hükmünün değiştirilmesi ile oluşan önermeye o önermenin olumsuzu(değili) denir. Bir p önermesinin değili p’ , , sembollerinden biri ile gösterilir.
NOT: Bir önermenin değilinin değili yine kendisine eşittir. ≡ p
| Örnek: | p: Bugün hava güneşli. |
| p’: Bugün hava güneşli değildir. |
KRTK NOKTA: Genelde yaygın olarak yapılan hata olumsuzunu alırken cümleyi değiştirmektir. Olumsuzunu yaparken yalnızca sonuna “değildir” ifadesi getirilmelidir.
Bileşik Önermeler
İki ya da daha çok önermenin “ve” , “veya” , “ise” , “ancak ve ancak” , “ya da” bağlaçları ile birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere bileşik önermeler denir.
1) veya (V) Bağlacı: p ve q iki önerme olmak üzere; pVq bileşik önermesi önermelerden en az biri doğruyken doğru (1), ikisi de yanlışken yanlıştır(0).
| p | q | p V q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
1V1 ≡ 1
1V0 ≡ 1
0V1 ≡ 1
0V0 ≡ 0
1V0 ≡ 1
0V1 ≡ 1
0V0 ≡ 0
2) ve (Ʌ) Bağlacı: p ve q iki önerme olmak üzere; pɅq bileşik önermesi önermelerden ikisi de doğru iken doğru (1), diğer bütün durumlarda yanlıştır(0).
| p | q | pɅq |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
1Ʌ1 ≡ 1
1Ʌ0 ≡ 0
0Ʌ1 ≡ 0
0Ʌ0 ≡ 0
1Ʌ0 ≡ 0
0Ʌ1 ≡ 0
0Ʌ0 ≡ 0
Ve ile veya bağlacının özellikleri
- Tek kuvvet özelliği
p V p ≡ p
p Ʌ p ≡ p - Değişme özelliği
p V q ≡ q V p
p Ʌ q ≡ q Ʌ p - Birleşme özelliği
p V (q V r) ≡ (p V q) V r
p Ʌ (q Ʌ r) ≡ (p Ʌ q) Ʌ r - Dağılma özelliği
p Ʌ (q V r) ≡ (p Ʌ q) V (p Ʌ r)
p V (q Ʌ r) ≡ (p V q) Ʌ (p V r)
KRTK NOKTA: Dağılma özelliğinde sağdan veya soldan dağılma farklıdır. Hangi taraftan dağıtılırsa dağıtılan ifade o tarafta kalır. Örneğin yukarıda p önermesini soldan dağıttık ve p hep solda kaldı. Eğer sağdan dağıtsaydık sağ tarafa yazılmalıydı.
| p V 1 ≡ 1 | p Ʌ 1 ≡ p | ||
| p V 0 ≡ p | p Ʌ 0 ≡ 0 | ||
| p V p’ ≡ 1 | p Ʌ p’ ≡ 0 |
Örnek: p ≡ 1 q ≡ 0 r ≡ 1 olduğuna göre;
(p V q’) Ʌ (q V r) ≡ ?
Çözüm: Önermelerin doğruluk değerlerini yerine yazarsak
(1 V 1) Ʌ (0 V 1) ≡ 1 Ʌ 1 ≡ 1
(p V q’) Ʌ (q V r) ≡ ?
Çözüm: Önermelerin doğruluk değerlerini yerine yazarsak
(1 V 1) Ʌ (0 V 1) ≡ 1 Ʌ 1 ≡ 1
Bileşik önermelerin olumsuzu ( değili):
De Morgan Kuralları
p ve q önermeleri için;
- (p V q)’ ≡ p’ Ʌ q’
- (p Ʌ q)’ ≡ p’ V q’
Bu kurallara De Morgan kuralları denir.
Görüldüğü üzere son iki sütunda bulunan değerler aynıdır. Yani tablo yaparak De Morgan kurallarını ispatlayabiliriz.
3) ya da (∨) bağlacı: p ve q iki önerme olmak üzere; p q bileşik önermesi bileşenlerden biri doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
| p | q | p ∨ q |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
1 ∨ 1 ≡ 0
1 ∨ 0 ≡ 1
0 ∨ 1 ≡ 1
0 ∨ 0 ≡ 0
1 ∨ 0 ≡ 1
0 ∨ 1 ≡ 1
0 ∨ 0 ≡ 0
Kümelerdeki İşlemler ile Sembolik Mantık İlişkileri
Kümelerdeki işlemler ile mantık konusundaki semboller arasında benzerlikler vardır. Hangi işaretlerin birbiriyle ilişkili olduğunu tablo yardımıyla gösterelim.
Kümelerdeki işlemler ile mantık konusundaki semboller arasında benzerlikler vardır. Hangi işaretlerin birbiriyle ilişkili olduğunu tablo yardımıyla gösterelim.
| Mantık | 0 | 1 | V | Ʌ | Değili işareti (‘) | ≡ |
| Küme |  | E |  |  | Değili işareti (‘) | = |
Örnek:
p V p’ ≡ 1 ifadesi küme konusu altında hangi ifadelerle ilişkilendirilebilir?
A A’ = E şeklinde ilişkilendirilebilir.
A A’ = E şeklinde ilişkilendirilebilir.
4) İse bağlacı (⇒) (Koşullu Önerme): Birinci önermesi p, ikinci önermesi q olan koşullu önermede birincisi (p) doğru, ikincisi yanlışken (q) yanlış; diğer bütün durumlarda doğrudur.
| p | q | p⇒q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
1 ⇒ 1 ≡ 1
1 ⇒ 0 ≡ 0
0 ⇒ 1 ≡ 1
0 ⇒ 0 ≡ 1
NOT: p⇒ q koşullu önermesinde p’ ye hipotez, q’ ya hüküm denir.
NOT: p ⇒ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir.
NOT: p ⇒ q koşullu önermesinde q önermesine, p için gerek koşul; p önermesine q için yeter koşul denilir.
KRTK NOKTA: Sorularda isse bağlacı olduğunda veya bağlacına dönüştürerek daha kolay çözebilirsiniz.
p ⇒ q ≡ p’ V q
1 ⇒ 0 ≡ 0
0 ⇒ 1 ≡ 1
0 ⇒ 0 ≡ 1
NOT: p⇒ q koşullu önermesinde p’ ye hipotez, q’ ya hüküm denir.
NOT: p ⇒ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir.
NOT: p ⇒ q koşullu önermesinde q önermesine, p için gerek koşul; p önermesine q için yeter koşul denilir.
KRTK NOKTA: Sorularda isse bağlacı olduğunda veya bağlacına dönüştürerek daha kolay çözebilirsiniz.
p ⇒ q ≡ p’ V q
İse bağlacının özellikleri
- p ⇒ p ≡ 1
p ⇒ p’ ≡ p’
p’ ⇒ p ≡ p - p ⇒ q ≡ p’ V q
(p ⇒ q)’ ≡ p Ʌ q’
p ⇒ q ≡ q’ ⇒ p’ - 1 ⇒ p ≡ p
p ⇒ 1 ≡ 1
0 ⇒ p ≡ 1
p ⇒ 0 ≡ p’
Bir koşullu önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi
p ⇒ q önermesinin karşıtı: q ⇒ p
p ⇒ q önermesinin tersi: p’⇒ q’
p ⇒ q önermesinin karşıt tersi: q’ ⇒ p’
p ⇒ q önermesinin tersi: p’⇒ q’
p ⇒ q önermesinin karşıt tersi: q’ ⇒ p’
Örnek: p: x ≥ 5
q: ≥ 25 p ⇒ q önermesinin tersini, karşıtını, karşıt tersini bulunuz.
Çözüm:
p ⇒ q : x ≥ 5 ⇒ ≥ 25 önermesinin
Karşıtı: q ⇒ p : ≥ 25 ⇒ x ≥ 5
Tersi: p’ ⇒ q’ : x < 5 ⇒ x < 25
Karşıt tersi: q’ ⇒ p’ : x < 25 ⇒ x < 5
q: ≥ 25 p ⇒ q önermesinin tersini, karşıtını, karşıt tersini bulunuz.
Çözüm:
p ⇒ q : x ≥ 5 ⇒ ≥ 25 önermesinin
Karşıtı: q ⇒ p : ≥ 25 ⇒ x ≥ 5
Tersi: p’ ⇒ q’ : x < 5 ⇒ x < 25
Karşıt tersi: q’ ⇒ p’ : x < 25 ⇒ x < 5
5) Ancak ve ancak (⇔) bağlacı ( İki yönlü koşullu önerme): p ve q iki önerme olmak üzere, p ve q’ nun aynı doğruluk değerinde doğru, diğer durumlarda yanlış olan bileşik önermeye iki yönlü bileşik önerme denir.
| p | q | p ⇔ q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
1 ⇔ 1 ≡ 1
1 ⇔ 0 ≡ 0
0 ⇔ 1 ≡ 0
0 ⇔ 0 ≡ 1
1 ⇔ 0 ≡ 0
0 ⇔ 1 ≡ 0
0 ⇔ 0 ≡ 1
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) Ʌ (q ⇒ p)
NOT:
p ⇔ 1 ≡ p
p ⇔ 0 ≡ p’
p ⇔ p ≡ 1
p ⇔ p’ ≡ 0
NOT: p ve q iki önerme olmak üzere, p ⇔ q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.
p ⇔ p’ ≡ 0
NOT: p ve q iki önerme olmak üzere, p ⇔ q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.
Totoloji ve Çelişki
Bir bileşik önerme, bileşenlerin tüm doğruluk değerleri için daima yanlış olan bileşik önermeye çelişki, daima doğru olan bileşik önermeye totoloji denir.
Bir bileşik önerme, bileşenlerin tüm doğruluk değerleri için daima yanlış olan bileşik önermeye çelişki, daima doğru olan bileşik önermeye totoloji denir.
| p | p’ | p V p’’ | p Ʌ p |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
p V p’ bileşik önermesi totoloji
p Ʌ p’ bileşik önermesi çelişkidir.
p Ʌ p’ bileşik önermesi çelişkidir.
Açık Önermeler ve İspat Teknikleri
Açık Önerme: Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan önermelere açık önerme veya önerme fonksiyonu denir. Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine açık önermenin doğruluk kümesi denir.
Örnek: 7 bir çift sayıdır. Bu bir yanlış açık önermedir.
15 tek sayıdır. Bu bir doğru açık önermedir.
Niceleyiciler:
Önüne gelen elemanlarının niceliğini belirten “her” ve “bazı” sözcüklerine niceleyici denir.
Bazı niceleyicisi, en az bir anlamına gelir. Ǝ sembolü ile gösterilir.
Her niceleyicisi, bütün anlamına gelir. Ɐ sembolü ile gösterilir.
NOT: Bazı niceleyicisinin tersi her niceleyicisi, her niceleyicisinin tersi bazıdır.
Örnek: 7 bir çift sayıdır. Bu bir yanlış açık önermedir.
15 tek sayıdır. Bu bir doğru açık önermedir.
Niceleyiciler:
Önüne gelen elemanlarının niceliğini belirten “her” ve “bazı” sözcüklerine niceleyici denir.
Bazı niceleyicisi, en az bir anlamına gelir. Ǝ sembolü ile gösterilir.
Her niceleyicisi, bütün anlamına gelir. Ɐ sembolü ile gösterilir.
NOT: Bazı niceleyicisinin tersi her niceleyicisi, her niceleyicisinin tersi bazıdır.
İspat Teknikleri:
Tanım: Bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirtmeye tanım denir.
Aksiyom: Doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen önermelere denir.
Teorem: Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere denir. Bir teoremin verilen kısmına hipotez, ispatlanacak olan kısmına hüküm denir.
Tanım: Bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirtmeye tanım denir.
Aksiyom: Doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen önermelere denir.
Teorem: Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere denir. Bir teoremin verilen kısmına hipotez, ispatlanacak olan kısmına hüküm denir.
İspat Yöntemleri:
Yorum Gönder