İkinci Dereceden Denklemler
A. TANIM
a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax2 + bx + c = 0
biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
denir.
Bu
açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin
kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da
denklemin kat sayıları denir.
B. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU
1.
Çarpanlara
Ayırma Yöntemi
ax2 +
bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0 biçiminde yazılabiliyorsa
f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;
Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.
2.
Diskiriminant
(D) Yöntemi
ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve
D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi
ax2 + bx + c = 0
denkleminde, D = b2 – 4ac
olsun.
a)
D > 0 ise, denklemin farklı iki
gerçel kökü vardır.
b)
D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.
c)
D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel
kökü vardır.
Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök
denir.
Ü ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri simetrik ise,
1)
b = 0 ve a ¹ 0 dır.
2)
Simetrik kökleri
gerçel ise, b = 0, a ¹ 0 ve a . c £
0 dır.
C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,
D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden
denklem; (x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse, x2 – (x1
+ x2)x + x1x2 = 0 olur.
Ü ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve
Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2
+ ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri
aynı ise,
Ü ax2
+ bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise, ax2 + bx + c = dx2 + ex +
f
(a – d)x2 +
(b – e)x + c – f = 0 dır.
Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.
ÜÇÜNCÜ
DERECEDEN DENKLEMLER
A.
TANIM
a ¹ 0 olmak üzere, ax3 +
bx2 + cx + d = 0 biçimindeki
denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx +
d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,
C. KÖKLERİ VERİLEN
ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem
(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.
Bu denklem düzenlenirse,
x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3
+ x2x3)x – x1x2x3 = 0
olur.
Ü ax3 +
bx2 + cx + d = 0 denkleminin
kökleri x1, x2, x3 olsun.
1) Bu
kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
x1 + x3 = 2x2 dir.
2) Bu
kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,
3)
Bu kökler hem
aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa, x1
= x2 = x3 tür.
n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, anxn + an
– 1xn – 1 + ... +
a1x + a0 = 0 denkleminin;
www.sayisalci.com
Yorum Gönder