a, b, c gerçel sayı ve a ¹0 olmak üzere, ax2 + bx + c = 0
biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
denir.
Bu
açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin
kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da
denklemin kat sayıları denir.
B.İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİNBULUNUŞU
1.Çarpanlara
AyırmaYöntemi
ax2 +
bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0 biçiminde yazılabiliyorsa
f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;
Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.
2.Diskiriminant
(D)Yöntemi
ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve
D= b2 – 4ac ise, çözüm kümesi
ax2 + bx + c = 0
denkleminde, D= b2 – 4ac
olsun.
a)D > 0 ise, denklemin farklı iki
gerçel köküvardır.
b)D < 0 ise, denklemin gerçel köküyoktur.
c)D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel
köküvardır.
Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök
denir.
Ü ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri simetrik ise,
1)b = 0 ve a ¹ 0dır.
2)Simetrik kökleri
gerçel ise, b = 0, a ¹ 0 ve a . c £0dır.
C.İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE
KATSAYILARI ARASINDAKİBAĞINTILAR
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1
ve x2 ise,
*Crooks(1870): Crooks tüpünde elektronu katot ışınları olarak buldu.
KATOT IŞINLARININ ÖZELLİKLERİ
- Negatif yüklü taneciklerdir.
- Katotdan anoda doğru hareket ederler
- Kullanılan elektrodun cinsine bağlı değildirler(demir, gümüş, bakır vb)
- Tüpün içindeki gazın cinsine bağlı değildir.
- Hızlı akan elektronlardır
- Doğrusal yolla yayılır ve manyetik alanda saparlar.
*Julius Plücker(1847): Katot ışınlarının(elektronun) manyetik alandaki davranışlarını inceleyen ilk bilim adamıdır.
*Eugen Goldştayn(1886): Protonu buldu. (Bu ışınlara; kanal (pozitif) ışınları denir.)
KANAL IŞINLARININ ÖZELLİKLERİ
- Pozitif yüklü taneciklerdir
- Katoda doğru hareket ederler
- Taneciklerin sapma açısı tüpün içindeki gazın türüne bağlıdır.
- Elektriksel ve manyetik alanda elektrona göre zıt yönde saparlar.
- Kütlesi katot ışınlarındandan daha büyüktür.
- Katot ışınlarının gidişine ters yönde akarlar.
*George Jhone Stoney(1891): Faradayın çalışmalarındaki atomlardaki elektrik yüküne ELEKTRON adının verilmesini önerdi.
**J.J. Thomson(1897):( yük/kütle)=e/m oranını buldu. (plückerin deneyindeki elektriksel ve manyetik alandan yararlanarak)
**Millikan(1910): e/m oranından yararlanarak elektronun yükünü ve kütlesini buldu. e=1,6.10-19 C (yağ damlası deneyi)
Moseley(1913): X-ışınları ile elementlerin farklı proton sayılarına göre farklı spektrum çizgilerinin olduğunu bulmuştur.
ATOMUN TARİHSEL GELİŞİMİ
Dalton(1803):p,e,n varlığı belirtilmedi.
Y-1)Maddenin en küçük yapı taşı atomdur. Atom parçalanamaz.(Atom parçalanabilir)
Y-2)Atomlar içi dolu kürelerdir.(Boşluklar var)
Y-3)Aynı element atomları büyüklük ve kütlece birbirinin aynıdır.(izotop atomlar var)
D-4)Farklı elementlerin atomları farklıdır.
D-5)Farklı cins atomlar farklı kütlelidir.
D-6)Bir bileşiği oluşturan atomların kütleleri arasında tamsayılarla ifade edilen belirli oran vardır.
***Dalton kanunu sabit oranlar ve katlı oranlar kanunu başarıyla açıklamıştır.
JosephThomson(1902):
Üzümlü keke benzetti. Üzümler elektron, kek ise pozitif yüklerdir.
1) Atomun yaklaşık çapı 10-8cm dir.
2) Negatif yükler pozitif yükleri dengeleyecek şekilde dağılmışlardır.
3) Atom nötrdür. (e=p)
4) e/m oranını hesaplamıştır.
5) Atomun kütlesini büyük oranda pozitif yükler oluşturur.
* Thomson proton ve nötrondan bahsetmemiştir.
RUTHERFORD(1911): Artı yüklü alfa taneciklerini(24He+2) ince altın levhaya gönderdi.
*Çekirdeğin varlığını ve kütlenin yaklaşık yarısı olduğunu buldu.
*Elektronların çekirdeğin çevresinde gezegenler gibi döndüğünü söyledi.
* Çekirdek atomun 1/100.000 ü kadardır.
*Atomda yüksüz taneciklerin(nötron) olması gerektiğini belirtti ama ispatlayamadı(öğrencisi Çeymis Çedwik nötronun varlığını daha sonra ispatlamıştır).
*Elektronun hareketini açıklayamadı. Ancak dönmesi gerektiğini söyledi.
Bohr Atom Modeli(1913):
1. Hidrojen atomunun elektronu sadece belli küresel yörüngelerde buluna bilir. Bu yörüngelere; enerji düzeyleri ve ya kabukları denir. K,L,M,N gibi bir harf ve ya 1,2,3,4,5..gibi bir n değeri ile belirlenir.
2. Her yörüngenin belli bir enerjisi vardır. Çekirdeğe en yakın olan K yörüngesin de bulunan elektron en düşük enerjiye sahiptir.
3. Kararlı bir atom düşük enerjilidir ve bu hale temel hal denir. Atomlar bir elektrik ve ya bek alevi ile ısıtıldığında, elektronlar enerjiabsorblayarak, daha yüksek enerji düzeyine çıkarlar. Bu tür atomlar uyarılmış haldedir.
4. Bir elektron yüksek enerji düzeyinden daha düşük bir enerji düzeyine geçtiğinde belli miktarda enerji, ışık şeklinde yayınlanır. Yayılan enerji; E=hѵ şeklinde ifade edilir. (ΔE= Eyüksek - Edüşük= hѵ )
Atomun Temel tanecikleri:
Z=p=Çekirdek yükü
Nötr atomda p = e
1) A=p+n veya (KN=p+n)
2) Yük=p-e
* me/mp=1/1840
MODERN ATOM TEORISI(Werner Heisenberg ve Erwin Schrödlinger:1920-1930) • Atomda belirli bir enerji düzeyi vardır. Elektron ancak bu düzeyden birinde bulunabilir. • Elektron bir enerji düzeyindeki hareketi sırasında çevreye ışık yaymazlar. • Atoma iki düzey arasındaki fark kadar enerji verilirse elektron daha yüksek enerji düzeyine geçer • Atoma verilen enerji kesilirse elektron enerjili düzeyinde kalamaz daha düşük enerji düzeyinden birine geçer. Bu sırada iki düzey arasındaki fark kadar enerjiyi ışık şekline çevreye verir 3- Modern atom modeli dalga mekaniğimdeki gelişmelerin elektronun hareketine uygulanmasına dayanmaktadır.
Modern atom modeli atom yapısı ve davranışlarını diğer atom modellerine göre daha iyi açıklamaktadır. Bu model atom çekirdeği etrafındaki elektronların bulunma olasılığını kuantum sayıları ve orbitaller ile açıklar.
ELEKTOMANYETİK IŞINLAR VE IŞIĞIN YAPISI
1.3.1 Atom Altı Parçacıkların Dalga Özelliği
Bir önceki bölümde Bohr’un atom modelini görmüştük. Bohr atom modeli; H, He+, Li2+ vb. gibi tek elektronlu türlerin spektrumlarını başarıyla açıkladığı hâlde birden fazla elektron içeren türlerin spektrumlarını açıklamada yetersiz kalmıştır. Bohr’un hidrojen üzerinde yaptığı çalışmalardan on yıl sonra elektronlar için ortaya atılan iki temel kavram (tanecik ve dalga), kuantumun yeniden gözden geçirilmesine sebep olmuştur. Bu bölümde dalga mekaniği denilen kuantum mekaniğini incelemeye başlayacağız.
Dalga - Tanecik İkiliği
Louis de Broglie ve Schrödinger ışığın dalga ve tanecik teorilerini birleştirerek bugünkü dalga mekaniğinin temelini oluşturdular. De Broglie bir fotonun enerjisini hesaplayabilmek için Planck bağıntısını ve Einstein enerji eşitliğini birlikte kullandı.
Einstein’ın cismin toplam enerjisini kütle ve ışık hızı bağıntısına göre açıklayan formülü E = mc2; Planck bağıntısı ise E = h.ν’dür.
Bu kullanıma göre;
E = E
E = h. ν = E = mc2
ν = mc2
h.(c / λ) = mc2
λ=h/(m.c)
De Broglie, X-ışınları kırınımından yola çıkarak hareket eden maddesel parçacıkların dalga gibi davranabileceğini söyledi. Fotonun dalga boyunun hesaplanması için kullanılan yukarıdaki eşitlik maddesel bir parçacığın (örneğin elektronun) dalga boyunun hesaplanması için de kullanılabilir. Eşitlik, parçacığın kütlesi m, hızı v alındığında;
λ=h/(m.v)
Bu eşitlik de Broglie eşitliği(madde dalgaları) olarak kullanılır.
Sonuç: madde hem tanecik hem de dalga özelliği gösterir.
* Maddenin dalga özelliğinin geç bulunuşu çıplak gözle veya mikroskopla görülebilecek kadar büyük olan cisimlerin dalga boylarının gözlenemeyecek kadar kısa oluşundan ileri gelir.
Elektronun Dalga Özelliği
De Broglie elektronların da dalga özelliği gösterebileceği fikrini ileri sürdü. Bu fikre göre elektron, duran bir dalga gibi davranmaktadır.
ÖRNEK 1)
1x106 m s-1 lik bir hızla hareket eden elektronun dalga boyu nedir?
Bu dalga, elekromanyetik spektrumda hangi bölgede bulunur?
Çözüm:
m (elektronun kütlesi) = 9,109 x 10-31 kg
v (elektronun hızı) = 1 x 106 m s-1
h (Planck sabiti) = 6,626 x 10-34 Js = 6,626 x 10-34 kg m2 s-1
λ=h/(m.v)
=[6,626 x 10-34 kg m2 s-1]/( 9,109 x 10-31 . 1 x 106)
=7,274 x 10-10m = 0,7274 nm
**Bu dalga elektromanyetik spektrumda mor ötesinde X-ışınlarının bulunduğu bölgede yer alır.
Elektronun Dalga Özelliğine Deneysel Kanıt
De Broglie’nin önerdiği madde dalgalarının ilk denel doğrulaması C.Davisson, L.H.Germer ve George Paget Thomson tarafından kanıtlanmıştır. Bu bilim insanları elektronun tıpkı X-ışınları gibi kristalde kırınıma uğradığını gösterdiler ve elektronların dalga boylarını ölçmeyi başardılar.
Şekil 1.3.3
(a) İnce bir alüminyum levhanın elektron kırınımı görüntüsü
(b) İnce bir alüminyum levhanın X-ışınları kırınımı görüntüsü.
Bu iki şeklin arasındaki benzerliklere dikkat edildiğinde elektronların
da X-ışınları gibi dalga özelliği gösterdiği sonucuna ulaşılır. Davisson ve Germer düşük enerjili elektronların nikel bir hedeften saçılmasıyla ilgili deney yaptı. Deneyi yaparken nikel yüzey, kaza sonucu oluşan bir kırık yüzünden oksitlendi. Hidrojen buharı içinde ısıtarak oksit tabakasını yok etmek isteyen Davisson ve Germer elektronların belli özel açılarla saçıldıklarının farkına vardılar.
G.P.Thomson da Şekil 1.3.2’de olduğu gibi çok ince metal levhadan elektronları geçirerek Davisson ve Germer gibi girişim ve kırınım desenlerini gözlemledi.
Işık bir dalga mıdır yoksa bir parçacık mıdır? Bu soruya de Brogli’nin kuramından sonra “Işık bir dalgadır.” Şeklinde yanıt verebiliriz. Ancak soruyu gözlenmekte olan olaya göre yanıtlamak daha doğrudur. Bazı olaylar, foton kavramı temeline
dayalı olarak daha iyi açıklanabilirken, bazıları ise dalga modeliyle daha iyi açıklanabilir.
Sonuçta foton ve dalga kuramı birbirinin tamamlayıcısıdır.
1.3.2 Heisenberg Belirsizlik İlkesi
Heisenberg belirsizlik ilkesine göre;
Bohr modelinde verilen kesin elektron yörüngelerinden bahsedemeyiz.
Çünkü; elektronun aynı anda hızını ve yerini belirlemek mümkün değildir. Işık hızı kadar büyük belirsizlikler vardır.
yazılarak bulunur.
Kökleri toplamı : 
Kökleri çarpımı : 
